Question

【题目】已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．

（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系　 　．

（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；

（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．

Answer 1

【答案】（1）CF+CD＝BC；（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC，证明详见解析；（3）．

【解析】

（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可证得；

（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC；

（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到OC的长．

（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∴AB＝AC，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD＝AF，∠DAF＝90°，

∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD＝CF，

∵BD+CD＝BC，

∴CF+CD＝BC；

故答案为：CF+CD＝BC；

（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC；

理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∴AB＝AC，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD＝AF，∠DAF＝90°，

∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴BD＝CF

∴BC+CD＝CF，

∴CF﹣CD＝BC；

（3）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∴AB＝AC，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD＝AF，∠DAF＝90°，

∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠ABD，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ABD＝135°，

∴∠ACF＝∠ABD＝135°，

∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，

∴△FCD是直角三角形．

∵正方形ADEF的边长4且对角线AE、DF相交于点O．

∴DF＝AD＝4，O为DF中点．

∴Rt△CDF中，OC＝DF＝×＝．