Question

【题目】如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，连接,过点作交于点，若，且，则的长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用折叠的性质可证得△ABC≌△A1BC1 ， 由此可以推出AB=A1B，BC=B1C，∠ABC=∠A1BC1 ， 再证明∠A1BA=∠C1BC，利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证△A1BA∽△C1BC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AB与BC之间的数量关系，利用锐角三角函数的定义及勾股定理，可以求出AB，BC的长，过C1作C1Q⊥BC交BC，AN于点Q，点P，设PC1=x，CQ=y，可建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，即可求出AD的长.

根据题意，可得△ABC≌△A1BC1 ，

∴AB=A1B，BC=B1C，∠ABC=∠A1BC1，

∵∠ABC=∠A1BA+∠ABC1 ， ∠A1BC1=∠C1BC+∠ABC1，

∴∠A1BA=∠C1BC，

∴△A1BA∽△C1BC，

∵CC1= AA1，

∴AB= BC，

∴sin∠BAC=sin∠BA1D= ，

在Rt△ABC中，设AB=5x，BC=3x，

AB2=AC2+BC2 ， 即(5x)2=162+(3x)2，

解方程(5x)2=162+(3x)2 ， 得x1=4，x2=-4(舍)，

∴BC=BC1=DC1=12， AC=A1C1=16，

过C1作C1Q⊥BC交BC，AN于点Q，点P，

设PC1=x，CQ=y，，

解得： 或 ，

∴AD=12+4 或12-4 ，

∵AD<BC，

∴AD=12-4 .