[题目]如图1.将三角板放在正方形ABCD上.使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G．(1)求证:EF＝EG,(2)如图2.移动三角板.使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上.其他条件不变.(1)中的结论是否仍然成立?若成立.请给予证明,若不成立.请说明理由,中的“正方形ABCD 改为“矩� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF＝EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a，BC＝b，请直接写出的值．

【答案】（1）见解析；（2）成立；见解析；（3）．

【解析】(1)由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用ASA证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；(2)首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；(3)首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解：（1）∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，

又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB（ASA），∴EF=EG；

（2）成立，

证明如下：

如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，

∴Rt△FEI≌Rt△GEH（ASA），

∴EF=EG；

（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD，

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴，，

∴即，

∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，

∴∠GEM=∠FEN，

∵∠GME=∠FNE=90°，

∴△GME∽△FNE，

∴，

∴．

“点睛”此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．

练习册系列答案

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