Question

【题目】如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接.给出下列五个结论：①；②一定是等腰直角三角形；③一定是等腰三角形；④；⑤.其中正确结论的序号是( )

A. ①②③④B. ①②④⑤C. ②③④⑤D. ①③④⑤

Answer 1

【答案】B

【解析】

连接PC，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△ABP≌△CBP后即可证明AP=PC，再根据矩形对角线相等和角的有关性质即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=EC，也可证明②的正确性，③只在特殊情况下成立．

证明：连接PC，

∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴AB=CB，∠ABP=∠CBP= 45°，BP=BP

∴△ABP≌△CBP，

∴AP=PC，∠BCP=∠BAP，

又∵于点，于点，

∴四边形PECF是矩形，PC=EF且互相平分，
①∴AP=EF正确；∠PFE=∠FEC=∠BCP
∴④∠PFE=∠BAP正确，

③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45°，
∴当∠PAD=45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．
∵PF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，即△DPF是等腰直角三角形，即②正确
∵矩形PECF中，PF=EC，
∴在等腰直角三角形△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴⑤DP=EC正确．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．

故选B．