Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线．
（2）若CD=2 ，OP=1，求线段BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，

∴∠AFB=∠ADC，

∴CD∥BF，

∴∠APD=∠ABF，

∵CD⊥AB，

∴AB⊥BF，

∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：连接OD，

∵CD⊥AB，

∴PD= CD= ，

∵OP=1，

∴OD=2，

∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，

∴△APD∽△ABF，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．（2）连接OD，在RT△ODE中，利用勾股定理求出由△APD∽△ABF， ，由此即可解决问题．本题考查切线的判定，垂径定理、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
【考点精析】关于本题考查的切线的判定定理，需要了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能得出正确答案．