Question

如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．
（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；
（2）求出该最小值．

Answer 1

解：（1）如图由垂线段的性质可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，

（2）连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，
∴由勾股定理得：AD=BD=2，即此时圆的直径是2，
由圆周角定理得：∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴∠OEH=30°，OE=1，
∴在Rt△EOH中，OH=，EH==，
由垂径定理得：EF=2EH=．
分析：（1）由垂线段的性质可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，
（2）连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，由勾股定理求出AD=BD=2，由圆周角定理求出∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，求出∠OEH=30°，OE=1，OH=，EH=，由垂径定理EF=2EH，代入求出即可．
点评：本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，但是有一定的难度．