Question

如图，点P为⊙O′外一点，OC为⊙O′的直径，PO=OC，PO交⊙O于M，OH为⊙O′的切线，且PH⊥OH．
（1）证明：PH=OM；
（2）若OH=2PM，求

PM

OM

的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接MC，则∠OMC=90°，由条件可证得PH∥OC，可得∠P=∠MOC，可证得△OPH≌△COM，可得结论；
（2）由（1）得PH=OM，在Rt△PHO中，利用勾股定理结合条件可得到3PM=2OM，可求得

PM

OM

．

解答：（1）证明：如图，连接MC，
∵AC为直径，
∴∠OMC=90°，且OH⊥PH，
∴∠PHC=∠OMC，
∵OH为切线，
∴∠HOC=90°，
∴PH∥OC，
∴∠P=∠MOC，
在△OPH和△OMC中，

∠P=∠MOC ∠PHO=∠OMC PO=OC

，
∴△OPH≌△COM（AAS），
∴PH=OM；
（2）解：∵△PHO为直角三角形，
∴PH²+OH²=（PM+OM）²，
∵PH=OM，OH=2PM，
∴OM²+4PM²=PM²+2PM•OM+OM²，
∴3PM²=2PM•OM，
∴3PM=2OM，
∴

PM

OM

=

2

3

．

点评：本题主要考查切线的性质及圆周角定理、全等三角形的判定，在解第（2）问时借助勾股定理找到PM和OM之间的关系是解题的关键．