Question

如图，抛物线与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＞x₂，与y轴交于点C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²-2x-8=0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵x²-2x-8=0，∴（x-4）（x+2）=0．
∴x₁=4，x₂=-2．
∴A（4，0），B（-2，0）．
又∵抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∴．
∴．
∴所求抛物线的解析式为y=-x²+x+4．

（2）设P点坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．
∵点B坐标为（-2，0），点A坐标（4，0），
∴AB=6，BP=m+2．
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC．
∴=．
∴=
∴EG=．
∴S_△CPE=S_△CBP-S_△EBP
=BP•CO-BP•EG
∴S_△CPE=（m+2）（4-）
=-m²+m+．
∴S_△CPE=-（m-1）²+3．
又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S_△CPE有最大值3．
此时P点的坐标为（1，0）．

（3）存在Q点，
∵BC=2，
设Q（1，n），
当BQ=CQ时，
则3²+n²=1²+（n-4）²，
解得：n=1，
即Q₁（1，1）；
当BC=BQ=2时，9+n²=20，
解得：n=±，
∴Q₂（1，），Q₃（1，-）；
当BC=CQ=2时，1+（n-4）²=20，
解得：n=4±，
∴Q₄（1，4+），Q₅（1，4-）．
综上可得：坐标为Q₁（1，1），Q₂（1，），Q₃（1，-），Q₄（1，4+），Q₅（1，4-）．
分析：（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标．
②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．
③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、三角形相似、探究等腰三角形的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．