Question

如图△ABC中，∠A=36°，AB=AC，且BD平分∠ABC交AC于点D，若AB=2，则AD=

 

．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：计算题

分析：先根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算出图中各角的度数，易得AD=BD=BC，再证明△ABC∽△BCD，根据相似的性质得AC：BC=BC：CD，则AC：AD=AD：CD，然后根据黄金分割点的定义计算．

解答：解：∵AB=AC=2，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，
∴∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC=BC：CD，
∴AC：AD=AD：CD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD=

5 -1

2

AC=

5 -1

2

×2=

5

-1．
故答案为

5

-1．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．