Question

【题目】如图，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式及顶点Q的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在写出理由；

（3）直线y=kx-6与y轴交于点N,与直线AC的交点为M,当△MNC与△AOC相似时，求点M坐标。

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+4，Q（2）（﹣5，﹣16）（3）①②

【解析】试题分析：（1）利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式；（2）由于M在抛物线F1上，所以可设M（a，-），然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC，过点M作MP⊥x轴于点P，则S四边形MAOC的值等于△APM的面积与梯形POCM的面积之和．（3）由于没有说明点P的具体位置，所以需要将点P的位置进行分类讨论，当点P在A′的右边时，此情况是不存在；当点P在A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，则分为以下两种情况进行讨论：①=；②=.

试题解析：（1）令y=0代入y=x+4，

∴x=﹣3，A（﹣3，0），

令x=0，代入y=x+4，∴y=4，∴C（0，4），

设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣，

∴y=﹣x2﹣x+4，Q

(2)∵点B的坐标为（1，0），

取点B关于y轴的对称点B′（﹣1，0），连接CB′，

则∠BCO=∠B′CO，

∴△BPC的内心在y轴上，直线B′C的解析式为y=4x+4，

联立，

∴点P的坐标为（﹣5，﹣16）；

N(0,-6),直线AC的表达式为，

当△MNC∽△AOC时，①∠CMN为直角

设 ，根据勾股定理可得

②当∠CNM为直角时，MN∥x轴，∴