[题目]如图.平面直角坐标系中.矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上.OA＝cm.OC＝8cm.现有两动点P.Q分别从O.C同时出发.P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动.Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．(1)用t的式子表示△OPQ的面积S,(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值.并求出这个定值,(3)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x 2＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

【答案】（1）S△OPQ＝－t2＋t（0＜t＜8）；（2）四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于；（3）3:29 .

【解析】试题分析：（1）根据的运动速度，可用表示出的长，进而根据的长求出的表达式，即可由三角形的面积公式得到的函数关系式；
（2）四边形的面积，可由矩形的面积差求得，进而可得到所求的定值；
（3）若与和相似，那么必为直角三角形，且由于所以这三个相似三角形的对应关系是根据相似三角形得到的比例线段求出的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线的解析式；可设点的横坐标为，根据直线和抛物线的解析式，求出的纵坐标，进而可得到关于的长与的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值及对应的点坐标；设与直线的交点为，根据点的坐标和直线的解析式即可求出点的坐标，也就能得到的长，以为底，横坐标差的绝对值为高，可求出的面积，进而可根据四边形的面积求出五边形的面积，由此可求出它们的比例关系式．

试题解析：（1）

∴S△OPQ＝ (8－t)·t＝－t2＋t（0＜t＜8）.

（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ.

＝8×－×t－×8×(－t)＝.

∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于.

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°.

又∵BQ与AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ.

∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP.

∴＝，即＝，解得：t＝4.

经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度考虑）此时P（，0）.

∵B（，8）且抛物线y＝x2＋bx＋c经过B、P两点,

∴抛物线是y＝x2－x＋8，直线BP是y＝x－8.

设M（m， m－8），则N（m， m2－m＋8）.

∵M是BP上的动点，∴≤m≤.

∵y1＝x2－x＋8＝ ( x－)2.

∴抛物线的顶点是P（，0）.

又y1＝x2－x＋8与y2＝x－8交于P、B两点,

∴当≤m≤时，y2＞y1.

∴|MN |＝|y2－y1|＝y2－y1＝(m－8)－(m2－m＋8).

＝－m2＋m－16＝－ (m－)2＋2.

∴当m＝时，MN有最大值是2，此时M（，4）.

设MN与BQ交于H点，则H（，7）.

∴S△BHM＝×3×＝.

∴S△BHM：S五边形QOPMH ＝:(－)＝3:29.

∴当线段MN的长取最大值时，直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比为3:29 .

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