Question

17．已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，CB与AD的交于点P，记P点到直线CD的距离为PM，到x轴的距离为PN，若0＜a＜1，求当PM²+$\frac{3}{2}$PN有最小值时此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；
（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=-1-a，求出方程ax²+bx+1=0，的b²-4ac的值即可；
（3）把y=1代入抛物线得到方程ax²+（-1-a）x+1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，根据△CPD∽△BPA，得出$\frac{PM}{PN}$=$\frac{CD}{AB}$，可用a表示出PN、PM的长，可用a表示出PM²+$\frac{3}{2}$PN，利用二次函数的性质可求得a的值，可求得抛物线的解析式．

解答 解：
（1）把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c，
解得：c=1，
∴c的值是1；
（2）解把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=-1-a，
即ax²+（-1-a）x+1=0，
b²-4ac=（-1-a）²-4a=a²-2a+1＞0，
∴a≠1，
∴a的取值范围是a＞0，且a≠1；
（3）∵ax²+（-1-a）x+1=0，
∴（ax-1）（x-1）=0，
∴B点坐标是（$\frac{1}{a}$，0）而A点坐标（1，0）
所以AB=$\frac{1}{a}$-1=$\frac{1-a}{a}$，
把y=1代入抛物线得：ax²+（-1-a）x+1=1，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{1+a}{a}$，
∴过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，
则MN⊥X轴，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{CD}{AB}$，
∴$\frac{1-PN}{PN}$=$\frac{\frac{1+a}{a}}{\frac{1-a}{a}}$，
∴PN=$\frac{1-a}{2}$，PM=$\frac{1+a}{2}$，
令S=PM²+$\frac{3}{2}$PN，
∴S=（$\frac{1+a}{2}$）²+$\frac{3}{2}$×$\frac{1-a}{2}$=$\frac{{a}^{2}-a+4}{4}$=$\frac{1}{4}$（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{16}$，
∵$\frac{1}{4}$＞0，
∴S是开口向上的抛物线，且0＜a＜1，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，S有最小值，
∴b=-1-a=-1-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴此时二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1．

点评 本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．