Question

【题目】如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．

（1）【问题引入】
若点O是AC的中点， = ，求 的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证： =1；
（3）【拓展应用】
如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若 = ， = ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点A作AG∥MN交BN延长线于点G，

∴∠G=∠BNM，

又∠B=∠B，

∴△ABG∽△MBN，

∴ = ，

∴ ﹣1= ﹣1，

∴ = ，即 = ，

同理，在△ACG和△OCN中， = ，

∴ = ，

∵O为AC中点，

∴AO=CO，

∴NG=CN，

∴ = = =

（2）

解：由（1）知， = 、 = ，

∴ = =1

（3）

解：在△ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，

由（2）得 =1，

在△ACD中，点P是AD上一点，过点P是AD上一点，过点P的直线与AC、AD的延长线分别相交于点E、B，

由（2）得 =1，

∴ = ，

∴ = = = × =

【解析】（1）作AG∥MN交BN延长线于点G，证△ABG∽△MBN得 = ，即 = ，同理由△ACG∽△OCN得 = ，结合AO=CO得NG=CN，从而由 = = 可得答案；
（2）由 = 、 = 知 = =1；
（3）由（2）知，在△ABD中有 =1、在△ACD中有 =1，从而 = ，据此知 = = = ．
【考点精析】本题主要考查了平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．