Question

10．如图①所示，直线y=x+1交x轴于点A，交y轴于点C，OB=3OA，M在直线AC上，AC=CM．
（1）求直线BM的解析式；
（2）如图①所示，点N在MB的延长线上，BN=AC，连CN交x轴于点P，求点P的坐标；
（3）如图②所示，连OM，在直线BM上是否存在点K，使得∠MOK=45°？若存在，求点K的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=x+1交x轴于点A，交y轴于点C，得到A（-1，0），C（0，1），进而得到点B（3，0），过点M作ME⊥y轴于点E，证明△AOC≌△MEC，
所以EM=AO=1，EC=OC=1，所以点M的坐标为（1，2），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点M的坐标为（1，2），点B（3，0）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，即可解答；
（2）根据点N在直线直线y=-x+3上，设点N的坐标为（x，-x+3），根据BN=AC，求出点N的坐标为（4，-1），设直线NC的解析式为y=mx+n，把点N的坐标为（4，-1），C（0，1）代入y=mx+n得：$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，所以直线NC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，当y=0时，x=2，所以点P的坐标为（2，0）．
（3）①当K在线段BM上时，根据M点坐标为（1，2），得到直线OM的方程为：y=2x．因为直线OM的斜率大于直线y=x的斜率，所以在MB上存在点K点使∠MOK=45°，设直线OM的斜率为k₂，直线OK的斜率为k₁，设k点坐标为（a，b），则k₂=2，${k}_{1}=\frac{b}{a}$，再根据两直线夹角公式tanx=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{2}{k}_{1}}$，得：tan45°=$\frac{2-\frac{b}{a}}{1+2•\frac{b}{a}}$=1，整理得：a-3b=0，根据直线MB方程为y=-x+3，点K在MB上，得到b=-a+3，联立$\left\{\begin{array}{l}{a-3b=0}\\{b=-a+3}\end{array}\right.$，求出a，b，即可解答．②当K在BM的延长线上时，∵∠K′OM=45°，∠MOK=45°，推出OK⊥OK′，由直线OK的解析式为y=$\frac{1}{3}$x，推出直线OK′的解析式为y=-3x，利用方程组求出点K′坐标即可；

解答 解：（1）∵直线y=x+1交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A（-1，0），C（0，1），
∴OA=OC=1，
∵OB=3OA，
∴OB=3，
∴点B（3，0），
如图①，过点M作ME⊥y轴于点E，

∵OA=OC，
∴∠CAO=∠OCA=45°，
∴∠ACO=∠ECM=45°，
∵AC=CM，
∴△AOC≌△MEC，
∴EM=AO=1，EC=OC=1，
∴点M的坐标为（1，2），
设直线BM的解析式为y=kx+b，
把点M的坐标为（1，2），点B（3，0）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BM的解析式为：y=-x+3．
（2）∵点N在直线直线y=-x+3上，
∴设点N的坐标为（x，-x+3），
∵BN=AC，
∴$\sqrt{{（x-3）}^{2}+（-x+3）^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$，
解得：x₁=4，x₂=2，
∵点N在MB的延长线上，
∴x＞3，
∴x=4，
∴点N的坐标为（4，-1），
设直线NC的解析式为y=mx+n，
把点N的坐标为（4，-1），C（0，1）代入y=mx+n得：
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$
∴直线NC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
当y=0时，x=2，
∴点P的坐标为（2，0）．
（3）如图②，①当K在线段BM上时，

∵M点坐标为（1，2），
∴直线OM的方程为：y=2x．
∵直线OM的斜率大于直线y=x的斜率，
∴在MB上存在点K点使∠MOK=45°，
设直线OM的斜率为k₂，直线OK的斜率为k₁，
设点K坐标为（a，b），
则k₂=2，${k}_{1}=\frac{b}{a}$，
再根据两直线夹角公式tanx=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{2}{k}_{1}}$，
得：tan45°=$\frac{2-\frac{b}{a}}{1+2•\frac{b}{a}}$=1，
整理得：a-3b=0，
∵直线MB方程为y=-x+3，点K在MB上，
∴b=-a+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{a-3b=0}\\{b=-a+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{9}{4}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴K点的坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）．
②当K在BM的延长线上时，∵∠K′OM=45°，∠MOK=45°，
∴OK⊥OK′，
∵直线OK的解析式为y=$\frac{1}{3}$x，
∴直线OK′的解析式为y=-3x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴K′（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
综上所述，满足条件的点K的坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）或（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）

点评 本题考查了一次函数、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解决本题的关键是用待定系数法求一次函数的解析式，在（3）中，根据直线的斜率判定点K的存在是关键，并注意数形结合思想的应用．