Question

【题目】[问题]小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．

他经历了如下思考过程：

[回顾]

（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝交于A （1，3）和B（﹣3，﹣1），则不等式ax+b＞的解集是　 　．

[探究]将不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按条件进行转化：

当x＝0时，原不等式不成立；

当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞；

当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜．

（2）构造函数，画出图象：

设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象；

双曲线y4＝如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y＝x2+3x﹣1．（不用列表）

（3）确定两个函数图象公共点的横坐标：

观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3＝y4的所有x的值为　 　．

[解决]

（4）借助图象，写出解集：

结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为　 　．

Answer 1

【答案】（1）x＞1或﹣3＜x＜0；（2）详见解析；（3）﹣3或﹣1或1；（4）x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．

【解析】

（1）根据一次函数与反比例函数图像位置关系直接观察出不等式解集．

（2）找出该函数上的关键点，在图表中描点连线即可．

（3）由图像观察即可得出交点的横坐标，即为原方程的解．

（4）根据（3）小问的方法，将原式转化为x2+3x﹣1＞，作图找交点即可（注意讨论x与0的大小关系）．

解：（1）如图1中，观察图形可知：不等式ax+b＞的解集为x＞1或﹣3＜x＜0．

故答案为：x＞1或﹣3＜x＜0．

（2）函数y3＝x2+3x﹣1的图形如图所示：

（3）观察图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为﹣3，﹣1，1．

经过检验可知：点（﹣3，﹣1），点（﹣1，﹣3），点（1，3）是两个函数的交点坐标，

满足y3＝y4的所有x的值为﹣3或﹣1或1．

故答案为﹣3或﹣1或1．

（4）观察图象，当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞的解集为x＞1，

当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜的解集为x＜﹣3或﹣1＜x＜0，

∴不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．

故答案为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．