Question

如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC = 3，∠B = 30°．

①求⊙O的半径；

②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和）

Answer 1

解：（1）直线BC与⊙O相切；……………………1分

连结OD，………………………………………2分

∵OA = OD  ∴∠OAD = ∠ODA

∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D

∴∠CAD = ∠OAD

∴∠CAD = ∠ODA

∴OD∥AC      ……………………………………3分

∴∠ODB = ∠C = 90°

即OD⊥BC． ………………………………………………………………………………4分

∴直线BC与⊙O相切．

（2）①设OA = OD = r，在Rt△BDO中，∠B = 30°，

∴OB = 2r    ………………………………………………………………………………5分

在Rt△ACB中，∠B = 30°

∴AB = 2AC = 6

∴3r = 6    …………………………………………………………………………………6分

解得r = 2．           ……………………………………………………………………7分

②在Rt△ACB中，∠B = 30°，

∴∠BOD = 60°．  …………………………………………………………………………8分∴S_扇形ODE=． ……………………………………………………………9分

∴所求图形面积为：S_△BOD- S_扇形ODE ．……………………………………10分