Question

【题目】如图，A、B两点的坐标分别为（0，4），（0，2），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．

（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；

（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；

（3）当点P从点（1，0）运动到点（2，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（2，6）；（3）.

【解析】试题分析：（1）连接AM、BM，由△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点，可得AM＝BM＝PM=QM，从而问题得证；

(2) 作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，由已知求得MC＝OG＝3，确定出在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为3，从而确定点Q的纵坐标始终为6， 当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，由△BOP∽△QHB，根据相似三角形的性质即可得；

（3）由相似可得：当点P在P1（1，0）时，Q1（8，6）则M1（ ，3），当点P在P2（2，0）时，Q2（4，6），则M2（3，3），根据线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1，根据梯形的面积公式进行计算即可得.

试题解析：（1）连接AM、BM，

∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点，

∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，

∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；

(2) 作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，∵AM＝BM，

∴G是AB的中点，由A（0，4），B（0，2）可得MC＝OG＝3，

∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为3，

则点Q到x轴的距离始终为6，即点Q的纵坐标始终为6，

当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，

HB＝6－2＝4，设OP＝HQ＝x，

由△BOP∽△QHB，得x 2＝2×4＝8，x＝2，

∴点Q的坐标为（2，6）；

（3）由相似可得：当点P在P1（1，0）时，Q1（8，6），则M1（ ，3），

当点P在P2（2，0）时，Q2（4，6），则M2（3，3），

∴M1M2＝ －3＝ ，Q1Q2＝8－4＝4，

线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1，

其面积为： ×(＋4 )×3＝.