[题目]我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方.则称这个四边形为勾股四边形.这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．(1)如图①.已知格点.A.请你画出以格点为顶点.OA.OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB, (2)如图②.将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°.得到△DBE.连接AD.DC.∠DCB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1)如图①，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；

(2)如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°，求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

【答案】(1)见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由题意得：OA=3，OB=4，∴AB=5，即要使OM=5，如图点M 即为所求点；（2）如图②，连接EC，由△ABC≌△DBE可得AC＝DE，BC＝BE，因为∠CBE＝60°，所以EC＝BC，∠BCE＝60又因为∠DCB＝30°，所以∠DCE＝90°，由勾股定理可得DC2＋EC2＝DE2，所以DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

试题解析：

证明：(1)如图①所示，点M即为所求点．

(2)如图②，连接EC，

∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.

∵∠CBE＝60°，∴EC＝BC，∠BCE＝60.

∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，

∴DC2＋EC2＝DE2，

∴DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

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