Question

如果点P在坐标轴上，以P为圆心，

3

为半径的圆与直线y=-

3

x+2

3

相切于C点，则过点C的双曲线的K是

3 3

4

或-

5 3

4

．

Answer 1

分析：过点O作直线AB的垂线，垂足为C点．由直线解析式可知，OA=2，OB=2

3

；然后利用三角形的面积公式求得OC=

3

；再根据∠CAO的三角函数值即可求得点C的坐标，则过点C的双曲线的K=xy．进而算出k的值．

解答：解：过点O作直线AB的垂线，垂足为C点，
∵直线y=-

3

x+2

3

与x轴交于A，与y轴交于B，
∴A（2，0），B（0，2

3

），
∴OA=2，OB=2

3

，
由勾股定理可知：AB=4，
S_△AOB=

1

2

OC•AB=

1

2

OA•OB，

1

2

×CO×4=

1

2

×2×2

3

，
∴OC=

3

，
∵以P为圆心，

3

为半径的圆，
∴P（0，0），根据中心对称性得点P′（4，0），
①当P（0，0）时，过C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∵CO=

3

，AO=2，
∴sin∠CAO=

3

2

∴∠CAO=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=

3

2

，
∴DO=

3

2

，
∴C（

3

2

，

3

2

），
设过C点的双曲线关系式为y=

K

x

（k≠0），
∴K=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

；
②当P′（4，0）时，过C作CG⊥x轴，CH⊥y轴，
与①同理可得：P′G=

3

2

，GC′=

3

2

，
∴C′（

5

2

，-

3

2

），
设过C′点的双曲线关系式为y=

K

x

（k≠0），
K=

5

2

×（-

3

2

）=-

5 3

4

，
故答案为：

3 3

4

或-

5 3

4

．

点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是根据题意确定出P点的坐标．