Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，0）、（20，0）、（20，10）．在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为最小值时，点M的坐标是________．

Answer 1

（12，6）
分析：先确定点M、N的位置：作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥OB于N，B′N交AC于M．连接OB′，交DC于P，再根据矩形、轴对称、等腰三角形的性质得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，运用勾股定理求出PA的长，然后由cos∠B′ON=cos∠OPD，求出ON的长，由tan∠MON=tan∠OCD，求出MN的长，即可得出点M的坐标．
解答：解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥OB于N，B′N交AC于M，则B′N=B′M+MN=BM+MN，B′N的长就是BM+MN的最小值．
连接OB′，交DC于P．
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC=∠PCA，
∵点B关于AC的对称点是B′，
∴∠PAC=∠BAC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
令PA=x，则PC=x，PD=20-x．
在Rt△ADP中，∵PA²=PD²+AD²，
∴x²=（20-x）²+10²，
∴x=12.5．
∵cos∠B′ON=cos∠OPD，
∴ON：OB′=DP：OP，
∴ON：20=7.5：12.5，
∴ON=12．
∵tan∠MON=tan∠OCD，
∴MN：ON=OD：CD，
∴MN：12=10：20，
∴MN=6．
∴点M的坐标是（12，6）．
故答案为（12，6）．
点评：本题主要考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，坐标与图形的性质，有一定难度，根据垂线段最短作出辅助线，确定点M、N的位置是解答此题的关键．