Question

我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．
已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．

（1）把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明(见题答卡表格里的示例)；
要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．
（2）图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．
要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．
解：在表格中作答

分割图形	分割或图形说明
示例	示例①分割成两个菱形。 ②两个菱形的边长都为a,锐角都为60°。

Answer 1

解：（1）在表格中作答：

分割图形	分割或图形说明
	①分割成两两个等腰梯形． ②两个等腰梯形的腰长都为a， 上底长都为，下底长都为， 上底角都为120°，下底角都为60°。
	①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形． ②等边三角形的边长为a， 等腰三角形的腰长为a，顶角为120°． 直角三角形两锐角为30°、60°，三边为a、、2a．

（2） 如图①，连接BD，取AB中点E，连接DE．

∵AB=2a，E为AB中点，∴AE=BE=a。，
∵AD=AE=a，∠A=60°，
∴△ADE为等边三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a。
又∵∠BED+∠DEA=180°，
∴∠BED=180°－∠DEA=180°－60°=120°。
又∵DE=BE=a，∠BED=120°，∴∠BDE=∠DBE=（180°－120°）=30°。
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°。
∴Rt△ADB中，∠ADB=90°。
由勾股定理得：BD²+AD²=AB²，即BD²+a²=（2a）²，解得BD=。
AC=。

试题分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；
方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形。
（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可。
对于AC，如图②所示，

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