Question

【题目】如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且弧DE=弧BE.

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）△ABC为等腰三角形，理由见解析；（2）

【解析】

（1）连接AE，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BAE，∠AEB＝90°，再根据相等的角的余角也相等可得∠C＝∠ABC，从而得到△ABC为等腰三角形；

（2）根据“三线合一”得到BE的长，利用勾股定理求得AE的长，再利用三角形的面积公式即可求得BD的长.

解：（1）△ABC为等腰三角形．

理由如下：连结AE，如图，

∵，

∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，

∵AB为直径，

∴∠AEB＝90°，

∴AE⊥BC，

∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABC+∠BAE＝90°，

∴∠C＝∠ABC，

∴AC＝AB，

∴△ABC为等腰三角形；

（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，

∴,，

在Rt△ABE中，

∵AB＝10，BE＝6，

∴，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴，

∴.