Question

已知关于x的一元二次方程(a+c)x₂+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为△ABC的三边的长.

(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

Answer 1

(1)把x=-1代入方程得2a-2b=0，即a=b，

∴△ABC是等腰三角形.

(2)∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ=(2b)²-4(a+c)(a-c)=0，即b²+c²=a²，

∴△ABC是直角三角形.

(3)∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c.

∴原方程变为：2ax²+2ax=0.

∵a≠0，∴x²+x=0.

∴x₁=0，x₂=-1.