Question

7．如图，已知AB=AC，BM，CN分别是AC，AB边上的中线，AE⊥CN、AF⊥BM，垂足分别为E，F，求证：AE=AF．

Answer 1

分析 根据已知条件得到AN=AM，证得△ABM≌△ACN，由全等三角形的性质得到∠AMB=∠ANC，由于∠AEN=∠AFM=90°，于是证得△ANE≌△AMF，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵AB=AC，BM，CN分别是AC，AB边上的中线，
∴AN=AM，
在△ABM与△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠AMB=∠ANC，
∵AE⊥CN、AF⊥BM，
∴∠AEN=∠AFM=90°，
在△ANE与△AMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANE=∠AMF}\\{∠AEN=∠AFM}\\{AN=AM}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△AMF，
∴AE=AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．