Question

12．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象过点（-1，0），顶点为（1，2），则结论：①abc＜0；②x=1时，函数的最大值是2；③a+2b+4c＞0；④2a=-b；⑤2c＞3b．其中正确的结论有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：①对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，所以ab＜0；
由抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴，则c＞0，
所以abc＜0，
故①正确；

②∵抛物线的开口方向向下，顶点为（1，2），
∴x=1时，函数的最大值是2，
故②正确；

③x=$\frac{1}{2}$时，y＞0，即$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$b+c＞0，
∴a+2b+4c＞0，
故③正确；

④∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a=-b，
故④正确；

⑤∵抛物线过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
而a=-$\frac{1}{2}$b，
∴-$\frac{1}{2}$b-b+c=0，
∴2c=3b，
故⑤错误．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：A．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．