Question

16．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP．其中，所有正确的结论是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 先证明四边形PECF是矩形，得出对角线相等PC=EF，再证明△ABP≌△CBP，得出AP=PC，即可得出①正确；
延长AP交EF于N，由平行线得出∠EPN=∠BAP，由△ABP≌△CBP，得出∠BAP=∠BCP，由P、E、C、F四点共圆，得出同弧所对的圆周角相等∠PFE=∠BCP，得出∠BAP=∠BCP=∠PFE（④正确），证出∠PNE=90°，得出AP⊥EF，②正确；
由于P是动点，△APD不一定是等腰三角形，得出③错误．

解答 解：①正确；连接PC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∠ABP=∠CBP=45°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠FCE=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
在△ABP和△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABP=∠CBP}&{\;}\\{BP=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∴AP=EF；
②④正确；延长AP交EF于N，如图2所示：
∵AB∥PE，
∴∠EPN=∠BAP，
∵△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴P、E、C、F四点共圆，
∴∠PFE=∠BCP，
∴∠BAP=∠BCP=∠PFE，
∵∠PEF+∠PFE=90°，
∴∠PEF+∠EPN=90°，
∴∠PNE=90°，
∴AP⊥EF；
③错误；
∵P是动点，
∴△APD不一定是等腰三角形；
正确的结论是①②④，
故选：C．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．