Question

20．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=-x²+2x+3经过点A、C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线与x轴的交点问题可求出C（-1，0），A′（3，0）；计算自变量为0时的函数值可得到A（0，3）；
（2）先由平行四边形的性质得AB∥OC，AB=OC，易得B（1，3），根据勾股定理和三角形面积公式得到OB=$\sqrt{10}$，S_△AOB=$\frac{3}{2}$，再根据旋转的性质得∠ACO=∠OC′D，OC′=OC=1，接着证明△C′OD∽△BOA，利用相似三角形的性质得$\frac{{S}_{△C′OD}}{{S}_{△BOA}}$=（$\frac{OC′}{OB}$）²，则可计算出S_△C′OD；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M点的坐标为（m，-m²+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，求出直线AA′的解析式为y=-x+3，则N（m，-m+3），于是可计算出MN=-m²+3m，再利用S_△AMA′=S_△ANM+S_△MNA′和三角形面积公式得到S_△AMA′=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m，然后根据二次函数的最值问题求出△AMA′的面积最大值，同时刻确定此时M点的坐标．

解答 解：（1）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，则C（-1，0），A′（3，0）；
当x=0时，y=3，则A（0，3）；
（2）∵四边形ABOC为平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC，
而C（-1，0），A（0，3），
∴B（1，3）
∴OB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$，
又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，
∴∠ACO=∠OC′D，OC′=OC=1，
又∵∠ACO=∠ABO，
∴∠ABO=∠OC′D．
又∵∠C′OD=∠AOB，
∴△C′OD∽△BOA，
∴$\frac{{S}_{△C′OD}}{{S}_{△BOA}}$=（$\frac{OC′}{OB}$）²=（$\frac{1}{\sqrt{10}}$）²=$\frac{1}{10}$，
∴S_△C′OD=$\frac{1}{10}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{20}$；
（3）设M点的坐标为（m，-m²+2m+3），0＜m＜3，
作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y=-x+3，则N（m，-m+3），
∵MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∴S_△AMA′=S_△ANM+S_△MNA′
=$\frac{1}{2}$MN•3
=$\frac{3}{2}$（-m²+3m）
=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S_△AMA'的值最大，最大值为$\frac{27}{8}$，此时M点坐标为（$\frac{3}{2}，\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点和二次函数的最值问题；会运用旋转的性质和平行四边形的性质；会利用相似三角形的性质计算三角形的面积．