Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．

Answer 1

分析 先由SSS证明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$AC，证出AE=AF=DE=DF，即可求出结果．

解答 解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，AF=CF=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△ADE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}&{\;}\\{DE=DF}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，
即AD平分∠BAC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．