Question

1．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC，∠CAB=2∠B，CE⊥AD于E，且CB=10．（1）求AE的长；
（2）若sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）如图，作辅助线；分别证明△CEA∽△DFB，△ACD∽△BCA，运用相似三角形的对应边成比例的性质，结合AB=2BF，得到$\frac{AE}{BF}=\frac{BC}{2BF}$，求出AE即可解决问题．
（2）首先运用三角函数定义、勾股定理求出AC的长度；再次运用勾股定理证明AD：AF=5：4；运用角平分线的性质列出关于线段CD的方程，求出CD即可解决问题．

解答 解：（1）过D点作DF⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠B，
又有∠CEA=∠DFB=90°，
∴△CEA∽△DFB，
∴$\frac{AC}{DB}=\frac{AE}{BF}$，
∵△ADB是等腰三角形，
∴AD=BD，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{BF}$，
又△ACD∽△BCA，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∵△ADB是等腰三角形，
∴AB=2BF，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{2BF}$，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{BC}{2BF}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=5．
（2）∵AD平分∠BAC，sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠CAE=$\frac{3}{5}$，即$\frac{CE}{AC}=\frac{3}{5}$，
设CE=3λ，则AC=5λ，由勾股定理得：
AE=4λ，而AE=5，
∴AC=5λ=5×$\frac{5}{4}$=$\frac{25}{4}$；
同理可求：AD：AF=5：4；
设AD=BD=5μ，则AB=2AF=8μ，CD=10-5μ；
∵AD平分∠CAB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{\frac{25}{4}}{8μ}=\frac{10-5μ}{5μ}$，
解得：5μ=$\frac{195}{32}$，CD=10-5μ=$\frac{125}{32}$，
即CD的长为$\frac{125}{32}$．

点评 该题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理、三角函数的定义、角平分线的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定、勾股定理等几何知识点来分析、判断、解答．