Question

4．某公司销售一种新型产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=-$\frac{1}{100}$x+150，成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费90000元，设月利润为w_内（元），若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳$\frac{1}{100}$x²元的附加费，设月利润为w_外（元）．
（1）当x=1000时，y=140元/件，w_内=0元；
（2）分别求出w_内，w_外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将x=1000代入求值即可；
（2）根据“利润=销售额-成本-广告费”可求出w_内与x间的函数关系式，根据“利润=销售额-成本-附加费”可求出w_外与x间的函数关系式；
（3）先运用二次函数的性质求出w_内取最大值时x的值，再根据w_外的最大值等于w_内的最大值，列出关于a的方程，解方程即可求出a的值；

解答 解：（1）当x=1000时，y=-$\frac{1}{100}$×1000+150=140元/件，w_内=1000×（140-50）-90000=0元；

（2）w_内=x（y-50）-90000=x（-$\frac{1}{100}$x+150-50）-90000=-$\frac{1}{100}$x²+100x-90000，
即w_内=-$\frac{1}{100}$x²+100x-90000，
w_外=x（150-a）-$\frac{1}{100}$x²=-$\frac{1}{100}$x²+（150-a）x，
即w_外=-$\frac{1}{100}$x²+（150-a）x；

（3）∵w_内=-$\frac{1}{100}$x²+100x-90000，
∴当x=-$\frac{100}{2（-\frac{1}{100}）}$=5000时，w_内最大；
∵在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，
∴$\frac{0-（150-a）^{2}}{4×（-\frac{1}{100}）}$=$\frac{4×（-\frac{1}{100}）×90000-10{0}^{2}}{4×（-\frac{1}{100}）}$，
整理，得（150-a）²=13600，
解得a₁=34，a₂=284（不合题意，舍去）．
∴a=34．

点评 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出w_内，w_外与x间的函数关系式是解题的关键．