Question

【题目】如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．

（1）求证：DE=DC．

（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）DF=DG．

【解析】

（1）利用院内接四边形的性质得到∠DEC=∠B，然后利用等角对等边得到结论．

（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．

（1）∵四边形ABDE内接于⊙O，

∴∠B+∠AED=180°，

∵∠DEC+∠AED=180°，

∴∠DEC=∠B，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠DEC=∠C，

∴DE=DC；

（2）∵四边形ABDE内接于⊙O，

∴∠A+∠BDE=180°，

∵∠EDC+∠BDE=180°，

∴∠A=∠EDC，

∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，

∵∠OEA=∠CEF，∴∠A=∠CEF，∴∠EDC=∠CEF，

∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°，∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°，即∠DEF+∠DCE=180°，

又∵∠DCG+∠DCE=180°，∴∠DEF=∠DCG，

∵∠EDC旋转得到∠FDG，∴∠EDC=∠FDG，

∴∠EDC﹣∠FDC=∠FDG﹣∠FDC，即∠EDF=∠CDG，

∵DE=DC，∴△EDF≌△CDG（ASA），

∴DF=DG．