Question

【题目】如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一个动点(不与A、B重合)，点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G、H，且∠EOF＝90°，有下列结论： ①； ②△OGH是等腰直角三角形； ③四边形OGBH的面积不随点E位置的变化而变化； ④△GBH周长的最小值为.其中错误的是______．(把你认为错误结论的序号填上)

Answer 1

【答案】④

【解析】分析：连接OC、OB、BE，对于①，根据ASA可证△BOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，根据等弦对等弧得到，可以判断①；

对于②，根据SAS可证△BOG≌△COH，根据全等三角形的性质得到∠GOH=90°，OG=OH，根据等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判断②；

过O作OM⊥BC，ON⊥AB，对于③，通过证明△HOM≌△GON，可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断③；

对于④，根据△BOG≌△COH可知BG=CH，则BG+BH=BC=4，设BG=x，则BH=4-x，根据勾股定理得到GH，可以求得其最小值，可以判断④.

详解：①如图所示，连接OC、OB、BE.

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE=∠COF，

∵在△BOE与△COF中，，

∴△BOE≌△COF，

∴BE=CF，

∴，①正确；

②∵BE=CF，

∴△BOG≌△COH.

∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，

∴∠GOH=90°，OG=OH，

∴△OGH是等腰直角三角形，②正确.

③如图所示，过O作OM⊥BC，ON⊥AB.

∵△HOM≌△GON，

∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③正确；

④∵△BOG≌△COH，

∴BG=CH，

∴BG+BH=BC=4，

设BG=x，则BH=4-x，

则GH=，∴其最小值为4+2，④错误.

故答案为④.