Question

9．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0），AB=10．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P与点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）分△APQ∽△AOB和△APQ∽△AOB两种情况，根据相似三角形的性质定理、结合图形计算即可．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）当△APQ∽△AOB，
则$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$，
∴OP=6-$\frac{30}{11}$=$\frac{36}{11}$，
则点P的坐标为：（0，$\frac{36}{11}$），
∵△APQ∽△AOB，
∴$\frac{AP}{AO}$=$\frac{PQ}{OB}$，即$\frac{\frac{30}{11}}{6}$=$\frac{PQ}{8}$，
解得PQ=$\frac{40}{11}$，
则点Q的坐标为：（$\frac{40}{11}$，$\frac{36}{11}$）；
当△APQ∽△ABO，
则$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得，t=$\frac{50}{13}$，
∴OP=6-$\frac{50}{13}$=$\frac{28}{13}$，
则点P的坐标为：（0，$\frac{28}{13}$），
作QE⊥OB于E，QF⊥OA于F，
则$\frac{QE}{OA}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{QE}{6}$=$\frac{\frac{100}{13}}{10}$，
解得，QE=$\frac{60}{13}$，
$\frac{QF}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{QF}{8}$=$\frac{\frac{30}{13}}{10}$，
解得，QF=$\frac{24}{13}$，
∴点Q的坐标为：（$\frac{24}{13}$，$\frac{60}{13}$）．

点评 本题考查的是一次函数的应用、相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的关系，掌握待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．