Question

已知关于x的一元二次方程x²+2（k-1）x+k²-1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若3（x₁+x₂）=x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出△=b²-4ac的值大于0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x₁+x₂=-2（k-1），x₁x₂=k²-1，再将它们代入3（x₁+x₂）=x₁x₂，即可求出k的值．

解答：解：（1）△=[2（k-1）]²-4（k²-1）
=4k²-8k+4-4k²+4
=-8k+8．   
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴-8k+8＞0，
解得 k＜1，
即实数k的取值范围是 k＜1；

（2）由根与系数的关系，x₁+x₂=-2（k-1），x₁x₂=k²-1，
∵3（x₁+x₂）=x₁x₂，
∴-6（k-1）=k²-1，
化简得k²+6k-7=0，
（k-1）（k+7）=0
∴k=1或k=-7，
又∵k＜1，
∴k=-7．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x₁+x₂=-

b

a

；
（5）x₁•x₂=

c

a

．