Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC延长线于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线．

（2）若，求DE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）

【解析】

（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBF，由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ODB，等量代换得到∠DBF＝∠ODB，推出∠ODF＝90°，根据切线的判定定理得到结论；

（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据角平分线的定义得到∠DBF＝∠ABD，解直角三角形得到AD＝3，求得DE＝．

解：（1）连接OD，

∵BD平分∠ABC交AC于点E，

∴∠ABD＝∠DBF，

∵OB＝OD，

∴∠ABD＝∠ODB，

∴∠DBF＝∠ODB，

∵∠DBF+∠BDF＝90°，

∴∠ODB+∠BDF＝90°，

∴∠ODF＝90°，

∴FD是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∵BD平分∠ABC交AC于点E，

∴∠DBF＝∠ABD，

在Rt△ABD中，BD＝4，

∵sin∠ABD＝sin∠DBF＝，

∴AD＝3，

∵∠DAC＝∠DBC，

∴sin∠DAE＝sin∠DBC＝，

在Rt△ADE中，sin∠DAC＝，

∴DE＝．