Question

20．如图，抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A，B两点，且过点C（4，3），在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使∠PAC＞∠ACB，若存在，求出点P的横坐标x_P的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由于点P的位置不确定，可先讨论∠PAC=∠ACB，然后确定点P的位置，进而求出点P的坐标即可求出x_p的范围．

解答 解：过点C作CD⊥x轴于点D，
令y=0代入y=x²-4x+3，
∴x²-4x+3=0，
解得∴：x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∵C（4，3），
∴AD=3，CD=3，
对称轴为x=2，
当点P在点C的上方时，
过点A作AP∥CB交抛物线于点P，
∴∠PAC=∠ACB，
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
把B（3，0）和C（4，3）代入y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{0=3a+b}\\{3=4a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-9}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=3x-9，
设直线AP的解析式为：y=3x+n，
把A（1，0）代入y=3x+n，
∴n=-3，
∴直线AP的解析式：y=3x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=15}\end{array}\right.$，
∴P的坐标为（6，15），
∴∠PAC＞∠ACB时，x_p＞6，
当点P在点C下方时，
作∠PAC=∠ACB交抛物线于点P，且AP的延长线交CD于点E，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴∠EAD=∠BCD，
在△EAD与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠BCD}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDB}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△BCD（ASA），
∴ED=BD=1，
∴E的坐标为（4，1），
设直线AE的解析式为：y=mx+c，
把A（1，0）和E（4，1）代入y=mx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{0=m+c}\\{1=4m+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{3}}\\{y=\frac{7}{9}}\end{array}\right.$，
∴点P（$\frac{10}{3}$，$\frac{7}{9}$），
∴∠PAC＞∠ACB时，2＜x_p＜$\frac{10}{3}$，
综上所述，2＜x_p＜$\frac{10}{3}$或x_p＞6

点评 本题考查二次函数综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，综合程度较高．