Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，$\frac{29}{2}$），直线y=-$\frac{5}{12}$x-5与x轴、y轴分别交于B、C，点P是直线BC上的一个动点，则AP长的最小值为18．

Answer 1

分析 作PM′⊥直线AB于点M′，根据“点到直线上所有的点的连线指中，垂线段最短”可知：AP′的长是AP长的最小值．首先求出点A、B的坐标，在Rt△AP′C与Rt△BOC中，通过证得△AP′C∽△BOC从而求得AP′．

解答 解：如图：作AP′⊥直线BC于点P′，根据“点到直线上所有的点的连线指中，垂线段最短”可知：AP′的长是AP长的最小值，
∵直线y=-$\frac{5}{12}$x-5与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴B（-12，0），C（0，-5），
∴BC=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∵点A的坐标为（0，$\frac{29}{2}$），
∴AC=$\frac{39}{2}$，
在Rt△AP′C与Rt△BOC中，∠ACP′=∠BCO，
∴△AP′C∽△BOC，
∴$\frac{AP′}{OB}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{AP′}{12}$=$\frac{\frac{39}{2}}{13}$，
解得AP′=18，
∴AP长的最小值为18．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质等知识点，关键是要掌握点到直线的最短距离的作法及列二元二次方程组及其求解．