Question

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于O点，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。

（1）求证：OE=OF；
（2）若BC=，求AB的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB。
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。
又∵AE=CF，∴△OEA≌△OFC（ASA）。
∴OE=OF。
（2）如图，连接OB，

∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∠ABO=∠OBF。
∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OBE=∠BAC。
又∵矩形ABCD中，∠ABC=90⁰，∴∠BOE=∠ABC=90⁰。
∴△OBE∽△BAC。∴。
∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OAE=∠AOE。∴AE=OE。
设AB=x，AE=OE=y，则。
∵BC=，∴。
由（1）△OEA≌△OFC，得AO=CO，∴。
∴。∴ ①。
又∵，即，
化简，得 ②。
由①②得，两边平方并化简，得，
∴，∴根据x的实际意义，得x=6。
∴若BC=， AB的长为6。

（1）由矩形的性质，结合已知可根据ASA证出△OEA≌△OFC，从而得出结论
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，∠ABO=∠OBF，从而得到△OBE∽△BAC，设出未知数和参数：AB=x，AE=OE=y，可得，在Rt△OBE中应用勾股定理得，二者联立，解出x即可。