Question

如图，点A、点B在双曲线y=

k

x

上，连接OA、OB、AB，且△OAB为以OB为斜边的等腰直角三角形，则tan∠AOy的值为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,反比例函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形

专题：

分析：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥AC于D，求出∠OAC=∠ABD，再利用“角角边”证明△AOC和△BAD全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，OC=AD，设OC=a，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出AC，再表示出点D的坐标，然后代入反比例函数解析式得到a、k的方程，然后求出

a2

k

，根据两直线平行，内错角相等可得∠OAC=∠AOy，然后根据锐角三角函数的正切值解答即可．

解答：解：如图，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥AC于D，
∵∠OAC+∠BAC=∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠OAC=∠ABD，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=AB，
在△AOC和△BAD中，

∠OAC=∠ABD ∠ACO=∠BDA OA=AB

，
∴△AOC≌△BAD（AAS），
∴AC=BD，OC=AD，
设OC=a，则AC=

k

a

，
∴CD=

k

a

-a，
点B的坐标为（

k

a

+a，

k

a

-a），
∵点B在双曲线上，
∴（

k

a

+a）（

k

a

-a）=k，
∴（

k

a

）²-a²-k=0，
∴a⁴+a²k-k²=0，
解得a²=

-1- 5

2

k（舍去），a²=

-1+ 5

2

k，
∵y轴⊥轴，AC⊥x轴，
∴AC∥y轴，
∴∠OAC=∠AOy，
∴tan∠AOy=

OC

AC

=

a

k a

=

a2

k

=

-1+ 5

2

．
故答案为：

-1+ 5

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．