Question

14．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．

（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；
（2）求出线段BC、BE、ED的长度；
（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；
（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．

Answer 1

分析 （1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得$\frac{PB}{BE}$=$\frac{PM}{AB}$，求出PM，根据△BPQ的面积y=$\frac{1}{2}$•BQ•PM计算即可问题．
（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．
（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．
（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得$\frac{IC}{GH}$=$\frac{BI}{BH}$，由此只要求出GH即可解决问题．

解答 解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
如图1中，作PM⊥BC于M．

∵△ABE∽△MPB，
∴$\frac{PB}{BE}$=$\frac{PM}{AB}$，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{PM}{8}$，
∴PM=$\frac{4}{5}$t，
当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=$\frac{1}{2}$•BQ•PM=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{5}$t²．

（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．

（3）①当P在BE上时，点C在C处时，
∵BE=BC=10，
∴当AE=AP=6时，△PQB与△ABE相似，
∴t=6．
②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．
③当点P在DC上时，设PC=a，
当$\frac{PC}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$时，∴$\frac{a}{6}$=$\frac{10}{8}$，
∴a=$\frac{15}{2}$，
此时t=10+4+（8-$\frac{15}{2}$）=14.5，
∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．

（4）如图3中，设EG=m，GH=n，

∵DE∥BC，
∴$\frac{EG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{m}{m+10}$=$\frac{4}{10}$，
∴m=$\frac{20}{3}$，
在Rt△BIG中，∵BG²=BI²+GI²，
∴（$\frac{50}{3}$）²=6²+（8+n）²，
∴n=-8+$\frac{8}{3}$$\sqrt{34}$或-8-$\frac{8}{3}$$\sqrt{34}$（舍弃），
∵∠BIH=∠BCG=90°，
∴B、I、C、G四点共圆，
∴∠BGH=∠BCI，
∵∠GBF=∠HBI，
∴∠GBH=∠CBI，
∴△GBH∽△CBI，（也可以先证明△BFI∽△GFC，想办法推出△GFB∽△CFI，推出∠BGH=∠BCI）
∴$\frac{IC}{GH}$=$\frac{BI}{BH}$，
∴$\frac{IC}{-8+\frac{8}{3}\sqrt{34}}$=$\frac{6}{10}$，
∴IC=$\frac{8\sqrt{34}}{5}$-$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查二次函数综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．