Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，16），D（24，0），点B在第一象限，且AB∥x轴，BD=20，动点P从原点O开始沿y轴正半轴以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，过点P作x轴的平行线与BD交于点C；动点Q从点A开始沿线段AB-BD以每秒8个单位长的速度向点D匀速运动，设点P、Q同时开始运动且时间为t（t＞0），当点P与点A重合时停止运动，点Q也随之停止运动．
（1）求点B的坐标及BD所在直线的解析式；
（2）当t为何值时，点Q和点C重合？
（3）当点Q在AB上（包括点B）运动时，求S_△PQC与t的函数关系式；
（4）若∠PQC=90°时，求t的值．

Answer 1

解：（1）∵A（0，16），D（24，0）
∴AO=16，OD=24
过点B作BF⊥OD于F，
∴∠BOF=90°，AO∥BF，且AB∥x轴
∴四边形ABFO是矩形
∴BF=AO=16
在Rt△BFD中，由勾股定理，得
FD=12
∴OF=12
∴B（12，16）
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，解得

∴直线BD的解析式为y=-x+32

（2）∵PC∥OD
∴
∴
∴EC=12-3t
∴PC=24-3t，BE=16-4t
过点Q作QH⊥OD于H，
∴
∵BQ=8t-12
∴DQ=32-8t
∴，解得
QH=
∴GQ=
∴，解得
t₁=8（不符合题意），t₂=
∴当t₂=时点Q和点C重合．

（3）当0＜t≤1.5时
S_△PQC=
∴S_△PQC=6t²-72t+192
∴当点Q在AB上（包括点B）运动时，求S_△PQC与t的函数关系式为S_△PQC=6t²-72t+192

（4）∵
∴
∴DC=5t
∴CQ=32-13t
∵∠PQC=90°
∴△BFD∽△PQC
∴
∴，
解得t=
分析：（1）过点B作BF⊥OD于F，根据勾股定理就可以求出DF的长，从而求得OF的长，就可以求出B点的坐标，利用待定系数法就可以求出直线BD的解析式．
（2）当△PQC的面积为0时，点Q和点C重合，利用三角形的面积公式建立等量关系就可以求出其t值．
（3）利用三角形相似求出EC的长和BE的长，根据三角形的面积公式建立等量关系就可以表示出S_△PQC与t的函数关系式
（4）若∠PQC=90°时，△BFD∽△PQC，利用相似三角形的对应线段成比例建立等量关系，从而求出t的值．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了点的坐标的求法，待定系数法求函数的解析式，矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质及勾股定理的运用．