Question

如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE），△AEF∽△EFC吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．若ABCD为矩形呢？

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：根据线段中点的定义可得AE=DE，求出∠AEF=∠DCE，利用两组角对应相等的两个三角形相似求出△AEF和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得

AF

DE

=

AE

CD

=

EF

EC

，然后求出

AF

AE

=

EF

EC

，再根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求解即可；矩形时同理可求．

解答：解：∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴

AF

DE

=

AE

CD

=

EF

EC

，
∴

AF

AE

=

EF

EC

，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△EFC；
ABCD为矩形时，同理可得△AEF∽△DCE，
∴

AF

DE

=

AE

CD

=

EF

EC

，
∴

AF

AE

=

EF

EC

，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△EFC．

点评：本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．