Question

【题目】已知抛物线的顶点P在x轴上，与y轴相交于点A．

Ⅰ求点A的纵坐标用含b的式子表示；

Ⅱ当时，y有最大值9，求b的值；

Ⅲ点B在抛物线上，且，连接AB，交对称轴于点C．

求证：PC为定长；

直接写出面积的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 点A的纵坐标为（2）或；（3）为定长1；面积的最小值为1．

【解析】

由抛物线与x轴只有一个交点，利用根的判别式可得出，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，此问得解；

分及两种情况考虑，若，则当时y取最大值，进而可得出关于b的一元二次方程，解之可求出b值；若，则当时y取最大值，进而可得出关于b的一元二次方程，解之可求出b值综上即可得出结论；

作轴于点D，则∽，利用相似三角形的性质可得出，设点B的坐标为，结合点A、P的坐标，即可得出，由点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，进而可得出；

由、可得出，根据三角形的面积公式可得出，利用完全平方公式可得出，此题得解．

解：Ⅰ抛物线的顶点在x轴上，

，

，

抛物线．

当时，，

点A的纵坐标为．

Ⅱ若，则当时，，

或舍去；

若，则当时，，

或舍去．

综上所述，或．

Ⅲ作轴于点D，如图所示．

，，

，，

．

又，

∽，

，

．

设点B的坐标为，

，，

，，，，

．

，，

，

，即．

由，，可得直线AB解析式为．

当时，，

点C的坐标为，

为定长1．

，，

，

，

面积的最小值为1．