Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E，DE＝4，CE＝2.

(1)求证：DE⊥AE；

(2)求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）5

【解析】

（1）如图，连接AD，OD，由题意得DE⊥OD，易得∠2＝∠3，因为D是弧BC的中点，所以∠1＝∠2，即∠1＝∠3，根据平行线的判定得OD∥AE，即得证DE⊥AE；

（2）如图，过点O作OF⊥AE于点F，易知四边形ODEF为矩形，设⊙O的半径为x，则AF＝CF＝EF－CE＝x－2，在Rt△AFO中，利用勾股定理得到关于x的方程(x－2)2＋42＝x2，然后求解方程即可.

(1)证明：如图，连接AD，OD，

∵DE是⊙O的切线，

∴DE⊥OD，

∵OA＝OD，

∴∠2＝∠3，

∵D是弧BC的中点，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴OD∥AE，

∴DE⊥AE；

(2)解：如图，过点O作OF⊥AE于点F，易知四边形ODEF为矩形，

∴OF＝DE＝4，EF＝OD，

∵OF⊥AC，

∴AF＝CF，

设⊙O的半径为x，

则AF＝CF＝EF－CE＝x－2，

在Rt△AFO中，AF2＋OF2＝AO2，

即(x－2)2＋42＝x2，

解得x＝5，

∴⊙O的半径为5.