Question

13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求证：∠BPC=135°．

Answer 1

分析 将△ACP绕C点逆时针旋转90°得到△BCQ，连接PQ，根据旋转的性质可得△PCQ是等腰直角三角形，BQ=PA=6，根据等腰直角三角形的性质求出PQ，∠QPC=45°，然后利用勾股定理逆定理判断出△PQB是直角三角形，∠QPB=90°，即可证明∠BPC=135°．

解答 证明：将△ACP绕C点逆时针旋转90°得到△BCQ，连接PQ，
由旋转的性质可知：△PCQ是等腰直角三角形，CQ=CP=4，BQ=PA=6，
∴PQ=$\sqrt{2}$CP=4$\sqrt{2}$，且∠QPC=45°，
在△BPQ中，PB²+PQ²=4+32=36=BQ²，
∴∠QPB=90°，
∴∠BPC=∠QPB+∠QPC=135°．

点评 本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键．