Question

3．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．
（1）问四边形DEBF是什么特殊四边形？说明理由．
（2）若AB=12cm，BC=18cm，求重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）证得DE=DF，得四边形BFDE是平行四边形，根据折叠的性质知：BF=DF，得四边形BFDE是菱形；
（2）根据折叠的性质知：AE=A′E，AB=A′D；可设AE为x，用x表示出A′E和DE的长，进而在Rt△A′DE中求出x的值，即可得到A′E的长，即可得到AE和DE长，再利用三角形的面积公式可得答案．

解答 解：（1）四边形DEBF是菱形，
连接BE，由折叠的性质可得∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
由折叠知，BF=DF．
∴四边形BFDE是菱形；
（2）设AE=A′E=xcm，则DE=18-x；
在Rt△A′ED中，A′E=xcm，A′D=AB=12cm，ED=AD-AE=（18-x）cm；
由勾股定理得：x²+144=（18-x）²，
解得x=5；
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×DE×DC=$\frac{1}{2}$（18-5）×12=78（cm²）．

点评 本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定和性质，解题的关键是作好辅助线找到相关的三角形．