Question

14．解方程（组）：
（1）解关于x的方程：ax+b²=bx+a²
（2）$2x+\sqrt{x-3}=6$．
（3）$\frac{4x}{{{x^2}+3x-4}}+\frac{1}{x+4}=1$．
（4）$\frac{{2{x^2}}}{2x-1}+\frac{2x-1}{x^2}-3=0$．
（5）$\left\{{\begin{array}{l}{4{x^2}-{y^2}=-5}\\{y-2x=1}\end{array}}\right.$
（6）$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2xy+{y^2}=9\\{x^2}+xy+2x=0.\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）按照解方程的步骤，即可得出结论；
（2）利用换元法，令y=$\sqrt{x-3}$，解出y的值再代入y=$\sqrt{x-3}$，即可得出结论；
（3）方程两边同时乘以x²+3x-4，消去分母，解出方程后再结合原方程分母不为0验证根是否存在；
（4）利用换元法，令y=$\frac{{x}^{2}}{2x-1}$，解出y的值再代入y=$\frac{{x}^{2}}{2x-1}$，即可得出结论；
（5）结合方程2用x表示出y，代入方程1中即可求的x值，再将x值代入方程2中即可得出结论；
（6）对方程组方程编号，由①得出（x-y）²=9③；由②得出y=-x-2④，将④代入③中求出x值，在将x代入④中求出y值即可．

解答 解：（1）ax+b²=bx+a²，
移项合并同类项，得：（a+b）x=（a+b）（a-b），
解得：x=a-b．
（2）$2x+\sqrt{x-3}=6$，
移项，得：2（x-3）+$\sqrt{x-3}$=0，
令y=$\sqrt{x-3}$，则原方程变形为：，2y²+y=0，
解得：y₁=0，y₂=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
即$\sqrt{x-3}$=0，
解得：x=3．
（3）$\frac{4x}{{{x^2}+3x-4}}+\frac{1}{x+4}=1$，
方程两边同时乘以x²+3x-4，得：4x+x-1=x²+3x-4，
移项合并同类项，得：x²-2x-3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
当x=1时，x²+3x-4=0，故舍去，
故方程的解为：x=3．
（4）$\frac{{2{x^2}}}{2x-1}+\frac{2x-1}{x^2}-3=0$，
令y=$\frac{{x}^{2}}{2x-1}$，则原方程变形为：2y+$\frac{1}{y}$-3=0，
方程两边同时乘y，得：2y²-3y+1=0，
解得：y₁=$\frac{1}{2}$，y₂=1．
当$\frac{{x}^{2}}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$时，方程无解；
当$\frac{{x}^{2}}{2x-1}$=1时，解得：x=1．
故方程的解为：x=1．
（5）$\left\{{\begin{array}{l}{4{x^2}-{y^2}=-5}\\{y-2x=1}\end{array}}\right.$，
将y=2x+1代入4x²-y²=-5中，得：4x=4，
解得：x=1，
y=2x+1=2+1=3．
故方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$．
（6）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}=9①}\\{{x}^{2}+xy+2x=0②}\end{array}\right.$，
由①可得（x-y）²=9③；②可得y=-x-2④，
将④代入③中，即（2x+2）²=9，
解得：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{5}{2}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，y=-$\frac{5}{2}$；
当x=-$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$．
故方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了解无理方程、解分式方程、解方程组以及利用换元法解方程，解题的关键是：牢记解方程的步骤，一步步得出结论．本题属于基础题，解方程是每年中考必考内容之一，这就要求同学们牢固的掌握各种解方程的方法．