Question

3．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF，∠BAC=∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

分析 首先得出△AEF≌△CFE（AAS），进而求出AO=CO，再利用全等三角形的判定方法得出△ABO≌△CDO（ASA），进而得出AB=DC，再由AB∥DC得出答案．

解答 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEF=∠CFO，
在△AEF和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{∠FEA=∠CFO}\\{AE=FC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CFE（AAS），
∴AO=CO，
在△ABO和△CDO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCA}\\{AO=CO}\\{∠AOB=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB=DC，
∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定等知识，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．