Question

14．如图，已知A为直线y=x上一点，过A作BA⊥OA交双曲线y=$\frac{k}{x}$于B，若OA²-AB²=8，求k的值．

Answer 1

分析 延长AB交x轴于C点，作AF⊥x轴于F点，BE⊥x轴于E点，由于直线y=x为第一、三限的角平分线，则△AOB、△BEC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AC=AO=$\sqrt{2}$AF，BC=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$CE，AF=$\frac{1}{2}$OC，可得到AB=AC-BC=$\sqrt{2}$（AF-BE），利用OA²-AB²=8变形得2AF•BE-BE²=4，即BE（2AF-BE）=4，由于OC=2AF，BE=EC，所以BE•OE=4，则得到B点的横纵坐标之积为4，从而得到k的值为4．

解答 解：延长AB交x轴于C点，作AF⊥x轴于F点，BE⊥x轴于E点，如图，
∵点A为直线y=x上一点，
∴∠AOC=90°，
∵AB⊥直线y=x，
∴△AOC、△BEC为等腰直角三角形，
∴AC=AO=$\sqrt{2}$AF，BC=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$CE，AF=$\frac{1}{2}$OC，
∴AB=AC-BC=$\sqrt{2}$（AF-BE），
∵OA²-AB²=8，
∴（$\sqrt{2}$AF）²-[$\sqrt{2}$（AF-BE）]²=8，
整理得2AF•BE-BE²=4，
∴BE（2AF-BE）=4，
∴BE（OC-CE）=4，即BE•OE=4，
设B点坐标为（x，y），则BE=y，OE=x，
∴BE•OE=xy=4，
∴xy=4，
∴k=4．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式；熟练运用等腰直角三角形的性质解决几何计算．