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【题目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.

(1)证明四边形ADCF是菱形;
(2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.

【答案】
(1)证明:如图,∵AF∥BC,

∴∠AFE=∠DBE,

∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,

∴AE=DE,BD=CD,

在△AFE和△DBE中,

∴△AFE≌△DBE(AAS);

∴AF=DB.

∵DB=DC,

∴AF=CD,

∴四边形ADCF是平行四边形,

∵∠BAC=90°,D是BC的中点,

∴AD=DC= BC,

∴四边形ADCF是菱形


(2)解:连接DF,

∵AF∥BC,AF=BD,

∴四边形ABDF是平行四边形,

∴DF=AB=5,

∵四边形ADCF是菱形,

∴S= ACDF=10


【解析】(1)首先根据题意画出图形,由E是AD的中点,AF∥BC,易证得△AFE≌△DBE,即可得AF=BD,又由在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是BC的中点,可得AD=BD=CD=AF,证得四边形ADCF是平行四边形,继而判定四边形ADCF是菱形;(2)首先连接DF,易得四边形ABDF是平行四边形,即可求得DF的长,然后由菱形的面积等于其对角线积的一半,求得答案.

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